David Sklansky, le vénérable théoricien du poker, cite deux exemples de bet-sizing dans sa vidéo-interview légendaire (David refuse systématiquement d’être filmé… sauf à Las Vegas, en juin 2008, en ma présence, avec l’équipe de l’Ecole Francaise de Poker).

En fait, il veut montrer la différence de raisonnement qui oppose le joueur pro et l’homme de la rue.

Exemple 1

Proposez à un joueur de poker professionnel de parier $1.000 à 2 contre 1 sur un événement qui a une probabilité de 50% de se produire. Tous les pros vont accepter le pari. Très peu d’hommes de la rue l’accepteront.

Exemple 2

Proposez à un joueur de poker professionnel de parier toute sa bankroll à 2 contre 1 sur un événement qui a une probabilité de 50% de se produire (bien sûr, on imagine qu’il a une bankroll importante, plusieurs dizaines voire centaines de milliers de dollars). Eh bien cette fois, aucun pro ne pariera. Ni aucun homme de la rue non plus, d’ailleurs.

Dans les deux cas, nous sommes en présence d’une logique de gestion basique d’un joueur de poker professionnel. Il doit gérer intelligemment sa bankroll, aussi il doit accepter les paris à son avantage quand ils n’endommagent pas exagérement sa bankroll en cas de perte. Dans le 2e exemple, l’endommagement est total et le joueur pro ne peut pas courir ce risque démesuré.

Point d'inflexion

Entre ces deux décisions contraires, ont voit bien qu’il existe un point d’inflexion quelque part. Il y a forcément un rapport entre la cote et la part de bankroll engagé où le joueur pro décidera brusquement de refuser le pari. Problème : Quel est ce rapport ? Comment l’optimiser ?

Déjà, en matière de gestion de bankroll, de nombreux auteurs ont apporté des réponses, des joueurs pro aussi. On sait par exemple qu’en général, en Sit&Go, on ne joue jamais plus de 5% de sa bankroll à la fois, et qu’en MTT ou en cash-games, cette proportion tombe à 2 ou 3%.

Mike Caro, l’autre grand théoricien du poker, apporte une réponse intéressante. Plus la bankroll augmente et plus on doit réduire la part que l’on risque à chaque session.

Par exemple, au départ, avec une bankroll courte, le joueur pourra en risquer 20% en Sit&Go ; puis, au fur et à mesure que sa bankroll grossira, il consacrera une proportion de plus en plus faible à chaque session, jusqu’à même passer sous 3%. Pourquoi ? Mike s’en explique dans  Poker Arsenal en fournissant son tableau complet : plus la bankroll est élevée et moins un joueur pro peut se permettre de la perdre ; donc plus il doit s’efforcer de prendre des risques faibles. Ce qui rejoint Sklansky.

Cela ne répond pas tout à fait à notre question. C'est finalement le chercheur américain J.L. Kelly Jr qui a découvert ce fameux rapport en 1956, validé en 1961 par Edward Thorp, le théoricien du blackjack. L’idée est d’assurer l’optimum de la progression du capital sur le long terme dans le cadre d’une stratégie d’investissement. Ces calculs sont transposables dans le domaine du pari.

Le critère de Kelly K se présente sous la forme d’une équation à 2 variables :

- B = rapport net du pari (par exemple, si le pari est payé 3 contre 1, on a B = 3)
- p = probabilité de gain, dont on déduit q = 1 – p = probabilité de perte

La formule qui donne l’optimum de part de la bankroll à miser K est :

K = (B*p – q) / B

Exemple 1

Vous jouez dans une partie où vous estimez que votre probabilité de sortir gagnant est de 60% (en fait, c’est votre ITM sur le long terme ; donc on a p = 0,6 et q = 0,4).  Vous estimez votre gain moyen à environ 1,2 fois vos buy-ins engagés, nets de rake ; donc on a B = 1,2. La formule de Kelly nous donne :
K = (1,2 * 0,6 – 0,4) / 1,2 = 0,27
Vous ne devez donc pas engager plus de 27% de votre bankroll dans cette partie. C’est un taux important, c’est vrai, mais c’est parce qu’avoir une cote financière de 1,2 contre 1 au poker est énorme. La plupart du temps, elle est plutôt de l’ordre de 0,2 contre 1, mais des rapports aussi bas ne sont pas gérés par la formule de Kelly. Voyons un exemple plus réaliste, portant cette fois sur un coup à part.

Exemple 2

Vous avez à payer un adversaire qui vient d’envoyer le tapis à la river. Vous estimez que vous avez un meilleur jeu que lui dans 67% des cas (cote de gain = 2 contre 1). Le pot vous donne une cote de 1,4 contre 1. La formule de Kelly nous donne :
K = (1,4 * 0,67 – 0,33) / 1,4 = 43%
Si l’enchère pour payer ne dépasse pas 43% de votre tapis, vous pouvez payer. Ce dernier exemple peut être discuté longtemps puisqu’en cash games, il est possible de recaver, et d’autre part ce joueur peut être un très mauvais gestionnaire de son tapis, ce qui nous donne des espoirs ensuite de récupérer notre argent si nous perdons. Néanmoins, le critère de Kelly nous apporte un élément de jugement.

Pour vous fixer les idées, j’ai reporté dans un tableau trois valeurs de cotes qui sont les plus courantes au poker : 1 contre 1, 1,5 contre 1 et 2 contre 1 (votre cote du pot ne sera jamais un pot à moins de 1 contre 1 et assez souvent à 2 contre 1… parfois plus, notamment quand vous avez déjà misé sur le tour d’enchères et que vous vous êtes fait relancer). On admettra que, pour avoir un calcul sans biais, aucune enchère supplémentaire ne puisse avoir lieu après.

Dans la 1ère colonne, votre probabilité de gagner ce coup, évaluée par vous-même.
Dans la 3e colonne, la part maximum de votre budget-jeu que vous pouvez consacrer à la cote de 1 contre 1.
Dans la 5e colonne, la part maximum de votre budget-jeu que vous pouvez consacrer à la cote de 1,5 contre 1.
Dans la 7e colonne, la part maximum de votre budget-jeu que vous pouvez consacrer à la cote de 2 contre 1.

Des points de repère se dégagent :

- plus la probabilité de gagner est élevée, plus la part de bankroll à miser l’est aussi (évident, certes, mais ca va toujours mieux en le disant)

- au jeu de pile ou face joué avec une pièce équilibrée, si vous êtes payé à 1 contre 1, Kelly vous dit de ne rien jouer ; si vous êtes payé à 1,5 contre 1, Kelly vous dit de miser 17% de votre bankroll ; mais si vous êtes payé à 2 contre 1, Kelly vous dit de jouer le quart de votre bankroll. Nous avons la réponse à notre question du début de cet article…

- à mi-chemin des cotes 1 contre 1 et 2 contre 1, donc à 1,5 contre 1, on n’est pas à mi-chemin du critère de Kelly, mais au-delà pour les valeurs basses, et en-deçà pour les valeurs élevées. Il n’y a donc pas linéarité. Voici d’ailleurs les courbes des critères selon que l’on est payé 1 contre 1 (jaune), 1,5 contre 1 (vert) ou 2 contre 1 (violet) :

- quand peut-on miser la moitié de son budget-jeu ? Quand on a 3 chances sur 4 de gagner et qu’on est payé à égalité, ou quand on a 70% de chance de gagner et qu’on est payé à 1,5 contre 1, ou quand on a 66% de chance de gagner et qu’on est payé à 2 contre 1. Etc.

Le critère de Kelly nous apporte un éclairage intéressant quand on pratique le pari sportif ou hippique, mais son application est moins directe dans le cadre d’une gestion de bankroll au poker. C’est néanmoins un élément de calcul non négligeable.

Attention : Kelly précise qu’il y a ajustement du budget-jeu après chaque tentative. Par exemple, si Kelly préconise de miser 10% de votre bankroll, cela ne signifie pas que vous avez 10 tentatives avant de vous retrouver broke. Après la première tentative, infructueuse, vous allez miser 10% de la bankroll restante, donc 10% de 90% de la bankroll de départ, etc. Au bout de 10 tentatives infructueuses, il vous restera 35% de la bankroll de départ, avec des mises toujours plus basses à chaque tentative.

Pour les matheux : démonstrations ICI.