LES COTES AU POKER selon Saint Matthieu (volet 1/3)
Matthieu Laurent m’a proposé sa présentation des cotes au poker, et c’est avec plaisir que je vous la soumets, en 3 volets successifs. Bonne lecture ! FM
Savoir calculer vos cotes sur un coup est essentiel pour pouvoir prendre des décisions qui à long terme vous assureront une espérance de gains positive.
Il existe 3 sortes de cotes :
A) les cotes explicites. A une situation complètement déterminée, est-ce rentable de miser sachant que je connais toute l'information de la situation ?
B) les cotes implicites. Est-ce rentable de miser sachant que je peux estimer ce que je pourrais soutirer à mon adversaire au dernier tour d'enchères (les jeux étant déterminés) alors que mon adversaire est perdant mais va tout de même suivre mon ultime relance ?
C) les cotes contre-implicites. Est-ce rentable de miser sachant que je peux estimer ce que je pourrais donner à mon adversaire au dernier tour d'enchères (les jeux étant déterminés) alors que je suis finalement perdant et que je vais tout de même suivre l'ultime relance de mon adversaire ?
Chacun des 3 volets de cette série sur les cotes va examiner une sorte de cotes.
A) les cotes explicites
Prenons un exemple simple, un jeu de dé à 6 faces. Le jeu se définit ainsi :
- si dé = 1, dé = 2 ou dé = 3, je gagne 1$
- si dé = 4, dé = 5 ou dé = 6, je perds 1$
En moyenne, sur 6 lancés de dé, je gagne 3 fois 1$ et je perds 3 fois 1$, donc au total je gagne 0$. Je ne perds pas d'argent à jouer à ce jeu donc je suis dans la cote. Par contre, je ne gagne pas non plus d'argent… Ce jeu n'a finalement aucun d'intérêt… justement parce que c’est un jeu de hasard totalement équitable.
Supposons que la règle du jeu change et se définisse ainsi :
- si dé = 1, dé = 2, dé = 3 ou dé = 4, je gagne 1$
- si dé = 5 ou dé = 6, je perds 3$
En moyenne, sur 6 jets, je vais gagner 4 fois 1$ et perdre 2 fois 3$ soit un total de 4 - (2x3) = -2$. Mon espérance de gain sur chaque coup est donc :
Espérance = -2/6 = -0.33$
C’est négatif et je sors de la cote… donc je n’ai plus aucun intérêt à jouer.
D’une manière générale…
Si vous affrontez un seul et unique adversaire, s'il mise 1$ qu'il vous donnera quand il perd et que vous lui devrez quand il gagne, il vous faut au moins 50% de chance de gagner pour avoir les cotes.
En effet, imaginons cette fois que le dé soit pipé et que vous ayez 65% de chance de gagner au lieu de 50%. Sur 100 coups, en moyenne, vous gagnerez 65 fois 1$ et perdrez 35 fois 1$. Vous aurez donc un total de 65 - 35 = 30$. Notre espérance de gain sur chaque coup est donc :
Espérance = 30/100 = 0.3$
C’est positif et j’ai une cote… c’est-à-dire un intérêt financier à jouer puisque sur le long terme, chaque coup joué me fait gagner 0.3$.
Compliquons un peu la situation
Imaginons maintenant une situation au poker où vous avez 40% de chances de gagner et 60% de perdre contre votre unique adversaire. Une telle situation peut intervenir selon les cartes que vous connaissez : les vôtres et celles du tableau.
Le pot est déjà de 80$. Votre adversaire mise 90$. Avez-vous une cote suffisante pour suivre ?
Votre espérance vaut :
Espérance = 0.40 x (80 + 90) - 0.60 x (90) = 14$ par coup
Votre espérance de gain est positive et vous avez donc la cote pour suivre. Le fait que vous aviez moins de 50% de chance de gagner contre votre unique adversaire est contre-balancé par le fait qu'il y a l'argent du pot à récupérer.
Compliquons encore la situation
Imaginons maintenant une situation au poker en tête-à-tête où vous avez :
- 25% de chances de gagner
- 15% de chances de partager
- 60% de chances de perdre.
Le pot est déjà de 80$. Votre adversaire mise 90$. Avez-vous une cote suffisante pour suivre?
Votre espérance vaut :
Espérance = 0.25 x (80 + 90) + 0.15 x (80/2) - 0.60 x (90) = -5.5$ par coup
Votre espérance de gain est négative et vous n'avez donc pas la cote pour suivre.
Comme dans le cas précédent, vous aviez toujours 40% de chance de ne pas perdre, mais on voit maintenant l'importance de la répartition entre victoire seule et partage, qui suffit à rendre l’affrontement désavantageux pour vous.
Compliquons encore un peu la situation
Imaginons maintenant une situation au poker où vous êtes face à 2 adversaires.
Le pot est déjà de 80$. Le joueur A mise 90$.
Vous faites 3 hypothèses :
- vous avez 40% de chance de battre A si vous êtes seul contre lui
- si vous suivez cette mise, le joueur B se couchera dans 35% des cas et suivra dans 65% (il ne relancera pas)
- si le joueur B rentre également dans le coup, vous n'avez plus que 22% de chance de de gagner simultanément contre A et B.
Ces hypothèses étant posées, avez-vous une cote suffisante pour suivre ? Calculons votre espérance :
Espérance = 0.35 x [0.40 x (80 + 90) - 0.60x (90)] + 0.65 x [0.22 x (80 + 90 + 90) - 0.78x (90)] = -3.55$ par coup
Votre espérance de gain est négative et vous n'avez donc pas la cote pour suivre.
FM : Comment savez-vous qu’un joueur a une probabilité de X% de suivre, de relancer, de passer ? Cela n’a rien de mathématique. C’est votre connaissance du joueur qui vous permet de le supposer à l’avance. Le calcul de l’espérance de gain inclut donc des données humaines.
Matthieu LAURENT
Pour en savoir sur les cotes au poker, la lecture de L'Essentiel des Probabilités au Poker s'impose.