LES COTES AU POKER selon Saint Matthieu (volet 2/3)
Matthieu Laurent m’a proposé sa présentation des cotes au poker, et c’est avec plaisir que je vous la soumets, en 3 volets successifs, dont voici le deuxième. Bonne lecture ! FM
B) les cotes implicites
Vous êtes à une table de Texas Hold'em de 10 joueurs, en position de Big-Blind, la hauteur des blinds étant 1-2$.
Les 8 adversaires suivent les 2$ et le Small-Blind complète 1$ également. Il y a donc 20$ au pot.
Au flop, le Small-Blind checke, vous checkez, le joueur après vous mise 20$, tous les autres joueurs se couchent et vous vous retrouvez donc en duel face à l'ouvreur.
Vu le flop, vous estimez que vous avez une chance sur 3 (33.33%) de gagner contre lui.
Espérance = 1/3 x (20 + 20) - 2/3 x (20) = 0
Ce n'est pas négatif, donc vous vous dites que vous avez la cote pour suivre et donc vous suivez de 20$. Le pot est alors de 60$.
La turn est retournée. Votre adversaire mise 60$.
Là encore, vu les 4 cartes du tableau, vous estimez que vous avez une sur 3 (33,33%) de gagner contre lui.
Espérance = 1/3 x (60 + 60) - 2/3 x (60) = 0
Ce n'est pas négatif, donc vous vous dites que vous avez la cote pour suivre et vous suivez de 60$. Le pot est alors de 180$.
Examinons la situation sous un autre angle et faisons le bilan des mises.
Au final vous avez misé 2 + 20 + 60 = 82$ face à un unique adversaire pour gagner 180 - 82 = 98$, et cela en ayant tout du long 33.33% de le battre.
Espérance finale = 1/3 x (98) - 2/3 x (82) = -22$
Cette espérance est pourtant négative, donc vous n'auriez jamais du suivre ce coup.
D'où vient cette apparente incohérence ?
Elle vient du fait qu'il y a plusieurs tour d'enchères et qu'il faut estimer la somme total que va vous demander notre adversaire pour tous les tours d'enchères à venir.
Au flop, si votre adversaire mise 7$ et si vous estimez qu'il a cette typologie d’actions, et vous en déduisez votre espérance à chaque fois :
- 10% de chance qu'il checke (et vous checkez aussi)
Pot total = 20 + (7 + 7) = 34$
Votre mise = 2 + 7 = 9$
Espérance = 34 - 9 = 25$
- 55% de chance qu'il mise 8$ à la turn
Pot total = 20 + (7 + 7) + (8 + 8) = 50$
Votre mise = 2 + 7 + 8 = 17$
Espérance = 50 - 17 = 33$
- 35% de chance qu'il mise 19$
Pot total = 20 + (7 + 7) + (19 + 19) = 72$
Votre mise = 2 + 7 + 19 = 28$
Espérance = 72 - 28 = 44$
Donc on a, en agrégeant les calculs :
Pot total = 0.10 x 9 + 0.55 x 17 + 0.35 x 28 = 20.05$
Votre mise = 0.10 x 25 + 0.55 x 33 + 0.35 x 44 = 36.05$
Espérance = 1/3 x (20.05) - 2/3 x (36.05) = -17.35$
Cette espérance est négative donc vous n'avez pas la cote pour suivre un tel coup… parce que ce coup, en moyenne, va vous faire perdre de l’argent.
Mais vous allez me dire que nous n'avons pas tenu compte du 4ième et dernier tour d'enchères. Et vous avez complètement raison. C'est lui qui fait intervenir les cotes implicites. Il faut tenir compte du fait que vous pouvez soutirer de l’argent à notre adversaire une fois les jeux déterminés.
Deux cas de figures se produisent :
1) soit au final votre jeu est gagnant par rapport à celui de votre adversaire, et par une dernière mise de X$ vous allez pouvoir gagner X nouveaux $
2) soit au final votre jeu est perdant par rapport à celui de votre adversaire, mais vous allez tenter un bluff qui parfois couchera votre adversaire et cela vous permettra d'empocher le pot
Examinons maintenant de plus près la situation suivante
Vous êtes à une table de Texas Hold'em et vous retrouvez face à un unique adversaire.
Le pot est déjà de 80$. 4 cartes du tableau sont déjà retournées. Il reste donc deux tours d'enchères.
Vous estimez que vous avez 40% de chances de battre votre adversaire (si vous touchez votre tirage sur cette 5ième carte à venir)
Le joueur A mise 190$. Avez-vous une cote explicite suffisante ?
Espérance = 0.40 x (80 + 190) - 0.60 x (190) = -6$ par coup.
Votre espérance de gain est négative et vous n'avez donc pas la cote explicite pour suivre.
Mais prenons maintenant en compte les cotes implicites :
Dans 40% des cas vous allez tenter de soutirer de l'argent à votre adversaire, bien que les jeux soient totalement déterminés et qu'il soit perdant.
Vous faites 3 hypothèses lorsque votre jeu sera gagnant :
- dans 35% des cas : votre adversaire paiera votre ultime ouverture de 20$ (espérance = 20 x 0.35 = 7$)
- dans 18% des cas : il paiera une ouverture de 70$ (espérance = 70 x 0.18 = 12.6$)
- dans 47% des cas : il se couchera quelle que soit votre ouverture
On voit qu’il vaut mieux ouvrir à 70$ car l’espérance y est supérieure.
Vous allez donc pouvoir compter sur les cotes implicites dans 40% des cas quand vous aurez touché votre tirage.
Grâce à ce dernier tour d'enchères, on a :
Espérance finale = -6 + 0.40 x 12.6 = -0.96$...
Mais c’est toujours négatif. Si, après ce calcul, votre espérance avait été positive, il aurait été rentable de suivre le coup, que votre tirage tombe ou ne tombe pas à la 5ième et dernière carte.
Mais n'oubliez pas de prendre en compte les cotes implicites que vous apporte un éventuel bluff que vous pourrez utiliser dans les 60% des cas où votre tirage ne rentre pas. (FM : En effet, quand vous n’avez pas de cote implicite suffisante, vous pouvez « compléter » cette carence par une attitude plus agressive qui augmente votre probabilité de succès… donc augmente votre cote artificiellement.)
Vous estimez que vous tenterez de bluffer dans 35% des cas.
Le pot est alors de 80 + 190 + 190 = 460$.
Vous choisissez de miser X$ pour votre bluff.
2 cas élémentaires sont possibles :
a) vous êtes le 1er à parler :
i) vous tenterez le 1er votre bluff de X$ : vous gagnerez 460$ quand cela marchera
ii) vous checkez, votre adversaire checke aussi : vous n'avez pas pu bluffer et vous perdez donc le coup
iii) vous checkez, votre adversaire mise Y$, vous tentez votre bluff de X$ + Y$ : vous gagnerez 460$ + Y$ quand cela marchera
b) vous êtes le 2ième à parler :
i) votre adversaire checke, vous tentez votre bluff de X$ : vous gagnerez 460$ quand cela marchera
ii) votre adversaire mise Y$, vous tentez votre bluff de X$ + Y$ : vous gagnerez 460$ + Y$ quand cela marchera
Par ailleurs, vous formez 2 hypothèses :
- votre bluff réussira dans 55% des cas (il échouera donc dans 45% des cas)
- vous fixez X$ = 500$ (votre enchère de bluff)
Cas a)
Vous estimez la probabilité de i) à 70%, de ii) à 10%, de iii) à 20% avec Y$ = 230$
Votre espérance vaut :
-0.96 + 0.60 x [ 0.35 x (0.55 x (0.70 x 460 + 0.10 x 0 + 0.20 x (460 + 230)) - (0.45 x (0.70 x 500 + 0.10 x 0 + 0.20 x (500 + 230)))) ] = 5.298$
Votre espérance de gain est au final positive et vous avez donc la cote pour suivre, que votre tirage tombe ou ne tombe pas (si vous misez 70% lorsque votre tirage tombe, et tentez un bluff de X$ ou X$ +Y$ dans 35% des cas où votre tirage ne tombe pas).
Cas b)
Vous estimez la probabilité de i) à 70%, ii) à 30% avec Y$ = 230$
Votre espérance vaut :
-0.96 + 0.60 x [ 0.35 x (0.55 x (0.70 x 460 + 0.30 x (460 + 230)) - (0.45 x (0.70 x 500 + 0.30 x (500 + 230)))) ] = 6.369$
Votre espérance de gain est au final positive et vous avez donc la cote pour suivre, que votre tirage tombe ou ne tombe pas (si vous misez 70% lorsque votre tirage tombe, et tentez un bluff de X$ ou X$ +Y$ dans 35% des cas où votre tirage ne tombe pas).
Remarque
Notre analyse s'arrête à un certain niveau et nous n'avons pas pris en compte les cas suivants :
- vous bluffez, votre adversaire vous relance, vous re-bluffez et vous gagnez le coup
- vous bluffez, votre adversaire vous relance, vous re-bluffez, il re-relance, vous re-re-bluffez et gagnez le coup, etc. !
Mais cela n'a pas beaucoup d'importance car ces situations sont très improbables et nécessiteraient de jouer avec de très gros tapis, ce qui est rarement le cas.
De plus, notez que, pour le cas b) par exemple, depuis la 4ieme carte où votre décision doit être prise de suivre les 190$, vous allez miser en moyenne 190 + 0.40 x 70 + 0.60 x 0.35 x [0.70 x 500 + 0.3 x (500 + 230)] = 337.49$ pour en gagner en moyenne 6.369$, ce qui fait un retour sur investissement (R.O.I.) de 6.369 / 337.49, soit environ 0.02, ce qui est très faible. Suivre ce genre de coup créera beaucoup de variance dans vos résultats (des résultats très différents les uns des autres).
Matthieu LAURENT
Pour en savoir sur les cotes au poker, la lecture de L'Essentiel des Probabilités au Poker s'impose.